Prędkość
Prędkość:- wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu.
- skalarna wielkość oznaczająca przebytą drogę w jednostce czasu lub tylko wartość prędkości zwana przez niektórych szybkością.
Jednostka prędkości w układzie SI to metr na sekundę.
Definicje prędkości
Prędkość w ruchu prostoliniowym
Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla malejących odcinków czasu. Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej na podstawie dłuższego odcinka czasu i drogi.
- <math>v={\mathrm{d}x \over \mathrm{d}t} = \lim_{\Delta t \to 0}{\Delta x \over \Delta t}</math>
Prędkość średnia wektorowa
Prędkość wektorowa średnia określa szybkość zmiany wektora położenia w dłuższym czasie definiuje się jako:- <math>\vec v_{s}=\frac </math>
- <math>v_{s}=\frac{s}{t}\ge \vec v_{s}</math>
Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej.
Prędkość w różnych układach współrzędnych
Układ współrzędnych kartezjańskich
Trzy składowe prędkości (w przestrzeni) lub dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi- <math>v_{x}=\frac{dx}{dt}\quad \quad v_{y}=\frac{dy}{dt}\quad \quad v_{z}=\frac{dz}{dt}</math>
- <math>\vec{v}=[v_{x},v_{y},v_{z}]</math>
- <math>\vec{v}=v_{x}\cdot \vec{i}_{x}+v_{y}\cdot \vec{i}_{y}+v_{z}\cdot \vec{i}_{z}</math>
- <math>v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}</math>
Układ współrzędnych biegunowych
W układzie współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie występują dwie składowe prędkości
- prędkość radialna, czyli prędkość zmiany długości promienia wodzącego
- <math>v_{r}=\frac{dr}{dt}</math>
- prędkość transwersalna - prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego
- <math>v_{\varphi }=r\frac{d\varphi }{dt}</math>
gdzie <math>{\varphi }\,</math> jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.
Prędkość całkowita- <math>\vec{v}=v_{r}\cdot \vec{i}_{r}+v_{\varphi }\cdot \vec{i}_{\varphi }</math>
- <math>v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}}</math>
Układ współrzędnych walcowych
Podobnie jak dla współrzędnych biegunowych, tylko dochodzi jedna współrzędna w kierunku osi z :<math>v_{z}=\frac{dz}{dt}</math>
Prędkość całkowita- <math>\vec{v}=v_{r}\cdot \vec{i}_{r}+v_{\phi }\cdot \vec{i}_{\phi }+v_{z}\cdot \vec{i}_{z}</math>
- <math>v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\phi }^{2}+v_{z}^{2}}</math>
Układ współrzędnych sferycznych
We współrzędnych sferycznych występują dwie prędkości prostopadłe do promienia- <math>v_{\phi }=r\frac{d\phi }{dt}</math>
- <math>v_{\theta }=r\sin \phi \cdot \frac{d\theta }{dt}</math>
gdzie kąt <math>{\theta }\,</math> jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (0Z). Tym kierunkiem może być oś 0X.
Prędkość całkowita- <math>\vec{v}=v_{r}\cdot \vec{i}_{r}+v_{\phi }\cdot \vec{i}_{\phi }+v_{\theta }\cdot \vec{i}_{\theta }</math>
- <math>v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\phi }^{2}+v_{\theta }^{2}}</math>
Prędkość kątowa
W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa- <math>\omega =\frac{d\varphi }{dt}</math>
- <math>\vec{\omega }=\frac{d\vec{\varphi }}{dt}</math>
- <math>\vec{v}_{\varphi }=\vec{\omega }\times \vec{r}</math>
Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów
Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym
Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna x. Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:
- <math>\vec v = \frac {\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{x(T)-x(0)}{T}\hat{i_x}</math>
- <math>\vec v=\frac{x(T)-x(0)}{T}=\frac{S}{T}=\textrm{const}</math>
- <math>\vec r(t)</math> - wektor położenia jako funkcja czasu t
- S - przebyta droga
- T - czas trwania ruchu
- x(t) - funkcja położenia (skalar) od czasu
Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym
Przyspieszenie <math>\vec a</math> jest stałe i niezerowe, więc prędkość <math>\vec v</math> zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.
- <math>\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \Rightarrow \Delta \vec v = \vec a \Delta t</math>
- <math>\vec v(T) - \vec v(0) = \vec a T \Rightarrow \vec v(T)=\vec v(0) + \vec a T </math>
- T - całkowity czas ruchu
- <math>\vec v(t)</math> - wektor prędkości jako funkcja czasu.
Czasami (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego - ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia <math>\vec a</math> jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości - <math>\vec v(t)</math>.
Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa)
W tym ruchu wektor prędkości kątowej <math>\vec \omega</math> jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:
- <math>\omega =\frac{\Delta \phi }{t}</math>
- <math>v=\omega r\,</math>
- <math> x(t)=r\cos\omega t \,</math>
- <math> y(t)=r\sin\omega t\, </math>
Zobacz też